Resolver {l}{4x-5y=18}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-5y=18$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=5y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 5y+18.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=10).

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

Egin 3 bider \frac{5y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

Gehitu \frac{15y}{4} eta -2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

Egin ken \frac{27}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

Egin \frac{5}{4} bider -2.

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta -\frac{5}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

Sinplifikatu.

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

Egin 12x-8y=40 ken 12x-15y=54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y+8y=54-40$$

Gehitu -15y eta 8y.

$$-7y=54-40$$

Gehitu 54 eta -40.

$$-7y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 3x-2y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

Egin -2 bider -2.

$$3x+4=10$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-2$$