Resolver {l}{4x-3y=5}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-3y=5$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{3y+5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=8).

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+2y=8$$

Egin 3 bider \frac{3y+5}{4}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{4}+2y=8$$

Gehitu \frac{9y}{4} eta 2y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{15}{4}=8$$

Egin ken \frac{15}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{4}y=\frac{17}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 8\\-\frac{3}{17}\times 5+\frac{4}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

Sinplifikatu.

$$12x-9y=15,12x+8y=32$$

Egin 12x+8y=32 ken 12x-9y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-9y-8y=15-32$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-9y-8y=15-32$$

Gehitu -9y eta -8y.

$$-17y=15-32$$

Gehitu 15 eta -32.

$$-17y=-17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 3x+2y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2=8$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=1$$