Resolver {l}{4x-3y=1}{5x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-3y=1$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{3y+1}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+y=7).

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

Egin 5 bider \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

Gehitu \frac{15y}{4} eta y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{23}{19}$$

Ordeztu \frac{23}{19} y balioarekin x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

Egin \frac{3}{4} bider \frac{23}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{69}{76} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

Sinplifikatu.

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

Egin 20x+4y=28 ken 20x-15y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-15y-4y=5-28$$

Gehitu -15y eta -4y.

$$-19y=5-28$$

Gehitu 5 eta -28.

$$-19y=-23$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=\frac{23}{19}$$

Ordeztu \frac{23}{19} y balioarekin 5x+y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

Egin ken \frac{23}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{110}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$