Resolver {l}{4x-2y=5}{3x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y=5$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider 2y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu \frac{y}{2}+\frac{5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=15).

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

Egin 3 bider \frac{y}{2}+\frac{5}{4}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -4y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

Egin ken \frac{15}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ordeztu -\frac{9}{2} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

Egin \frac{1}{2} bider -\frac{9}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta -\frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Sinplifikatu.

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

Egin 12x-16y=60 ken 12x-6y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+16y=15-60$$

Gehitu -6y eta 16y.

$$10y=15-60$$

Gehitu 15 eta -60.

$$10y=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ordeztu -\frac{9}{2} y balioarekin 3x-4y=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

Egin -4 bider -\frac{9}{2}.

$$3x+18=15$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$