Resolver {l}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-2y+4=0$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x-2y=-4$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=2y-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Ordeztu \frac{y}{2}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-4x+3y-3=0).

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Egin -4 bider \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y+4-3=0$$

Gehitu 4 eta -3.

$$y+1=0$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=\frac{1}{2}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Egin \frac{1}{2} bider -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Gehitu -1 eta -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

4x eta -4x berdintzeko, biderkatu -4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Egin -16x+12y-12=0 ken -16x+8y-16=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Gehitu -16x eta 16x. Sinplifikatu egiten dira -16x eta 16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-12y-16+12=0$$

Gehitu 8y eta -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Gehitu -16 eta 12.

$$-4y-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin -4x+3y-3=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Egin 3 bider -1.

$$-4x-3-3=0$$

Gehitu -3 eta -3.

$$-4x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$