Resolver {l}{4x=3y}{y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 3 y } \\ { y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-x=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x-3y=0$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=3y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\times 3y$$

Egin \frac{1}{4} bider 3y.

$$x=\frac{3}{4}y$$

Ordeztu \frac{3y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+y=-3).

$$-\frac{3}{4}y+y=-3$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta y.

$$\frac{1}{4}y=-3$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin x=\frac{3}{4}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

Egin \frac{3}{4} bider -12.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=-12$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-x=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)\\4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-9,y=-12$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3y bi aldeetatik.

$$4x-3y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-x=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x-3y=0,-x+y=-3$$

4x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-4x-\left(-3y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$-4x+3y=0,-4x+4y=-12$$

Egin -4x+4y=-12 ken -4x+3y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-4x+4x+3y-4y=12$$

Gehitu -4x eta 4x. Sinplifikatu egiten dira -4x eta 4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-4y=12$$

Gehitu 3y eta -4y.

$$-y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-12$$

Ordeztu -12 y balioarekin -x+y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x-12=-3$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=-12$$