Resolver {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{-y+7}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=9).

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Egin 3 bider \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Egin ken \frac{21}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Egin -\frac{1}{4} bider 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Gehitu \frac{7}{4} eta -\frac{3}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Sinplifikatu.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Egin 12x+8y=36 ken 12x+3y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-8y=21-36$$

Gehitu 3y eta -8y.

$$-5y=21-36$$

Gehitu 21 eta -36.

$$-5y=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 3x+2y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times 3=9$$

Egin 2 bider 3.

$$3x+6=9$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$