Resolver {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=4$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

Ordeztu -\frac{y}{4}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x-6y=18).

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

Egin -3 bider -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

Gehitu \frac{3y}{4} eta -6y.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{21}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

Egin -\frac{1}{4} bider -4.

$$x=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

4x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

Sinplifikatu.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

Egin -12x-24y=72 ken -12x-3y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y+24y=-12-72$$

Gehitu -3y eta 24y.

$$21y=-12-72$$

Gehitu -12 eta -72.

$$21y=-84$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 21 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -3x-6y=18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

Egin -6 bider -4.

$$-3x+24=18$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-4$$