Resolver {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=15$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y+15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Ordeztu \frac{-y+15}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (19x+5y=30).

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Egin 19 bider \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Gehitu -\frac{19y}{4} eta 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Egin ken \frac{285}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=-165$$

Ordeztu -165 y balioarekin x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Egin -\frac{1}{4} bider -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Gehitu \frac{15}{4} eta \frac{165}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=45$$

Ebatzi da sistema.

$$x=45,y=-165$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=45,y=-165$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x eta 19x berdintzeko, biderkatu 19 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Sinplifikatu.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Egin 76x+20y=120 ken 76x+19y=285 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Gehitu 76x eta -76x. Sinplifikatu egiten dira 76x eta -76x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$19y-20y=285-120$$

Gehitu 19y eta -20y.

$$-y=285-120$$

Gehitu 285 eta -120.

$$-y=165$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-165$$

Ordeztu -165 y balioarekin 19x+5y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Egin 5 bider -165.

$$19x-825=30$$

Gehitu 825 ekuazioaren bi aldeetan.

$$19x=855$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$x=45$$

Ebatzi da sistema.

$$x=45,y=-165$$