Resolver {l}{4x+y=0}{-2x+7y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 0 } \\ { - 2 x + 7 y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$y=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=0$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-1\right)y$$

Egin \frac{1}{4} bider -y.

$$x=-\frac{1}{4}y$$

Ordeztu -\frac{y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+7y=4).

$$-2\left(-\frac{1}{4}\right)y+7y=4$$

Egin -2 bider -\frac{y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+7y=4$$

Gehitu \frac{y}{2} eta 7y.

$$\frac{15}{2}y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{15}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{8}{15}$$

Ordeztu \frac{8}{15} y balioarekin x=-\frac{1}{4}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{8}{15}$$

Egin -\frac{1}{4} bider \frac{8}{15}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{1}{4\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\times 7-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{30}&-\frac{1}{30}\\\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}\times 4\\\frac{2}{15}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\\\frac{8}{15}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=0,-2x+7y=4$$

4x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 4x-2y=0,4\left(-2\right)x+4\times 7y=4\times 4$$

Sinplifikatu.

$$-8x-2y=0,-8x+28y=16$$

Egin -8x+28y=16 ken -8x-2y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x-2y-28y=-16$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-28y=-16$$

Gehitu -2y eta -28y.

$$-30y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -30 balioarekin.

$$y=\frac{8}{15}$$

Ordeztu \frac{8}{15} y balioarekin -2x+7y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+7\times \frac{8}{15}=4$$

Egin 7 bider \frac{8}{15}.

$$-2x+\frac{56}{15}=4$$

Egin ken \frac{56}{15} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=\frac{4}{15}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{15},y=\frac{8}{15}$$