Resolver {l}{4x+9y=13}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = 13 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{37}{19} = 1\frac{18}{19} \approx 1.947368421$$

$$y=\frac{11}{19}\approx 0.578947368$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+9y=13$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-9y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y+13\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -9y+13.

$$x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}$$

Ordeztu \frac{-9y+13}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+2y=7).

$$3\left(-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}\right)+2y=7$$

Egin 3 bider \frac{-9y+13}{4}.

$$-\frac{27}{4}y+\frac{39}{4}+2y=7$$

Gehitu -\frac{27y}{4} eta 2y.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{39}{4}=7$$

Egin ken \frac{39}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{19}{4}y=-\frac{11}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{19}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{11}{19}$$

Ordeztu \frac{11}{19} y balioarekin x=-\frac{9}{4}y+\frac{13}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{4}\times \frac{11}{19}+\frac{13}{4}$$

Egin -\frac{9}{4} bider \frac{11}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{99}{76}+\frac{13}{4}$$

Gehitu \frac{13}{4} eta -\frac{99}{76} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{37}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 2-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 2-9\times 3}&\frac{4}{4\times 2-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{9}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 13+\frac{9}{19}\times 7\\\frac{3}{19}\times 13-\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{19}\\\frac{11}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+9y=13,3x+2y=7$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\times 13,4\times 3x+4\times 2y=4\times 7$$

Sinplifikatu.

$$12x+27y=39,12x+8y=28$$

Egin 12x+8y=28 ken 12x+27y=39 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+27y-8y=39-28$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-8y=39-28$$

Gehitu 27y eta -8y.

$$19y=39-28$$

Gehitu 39 eta -28.

$$19y=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 19 balioarekin.

$$y=\frac{11}{19}$$

Ordeztu \frac{11}{19} y balioarekin 3x+2y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+2\times \frac{11}{19}=7$$

Egin 2 bider \frac{11}{19}.

$$3x+\frac{22}{19}=7$$

Egin ken \frac{22}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{111}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{37}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{37}{19},y=\frac{11}{19}$$