Resolver {l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+9y=-21$$

Egin ken 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-9y-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -9y-21.

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

Ordeztu \frac{-9y-21}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=-13).

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

Egin 3 bider \frac{-9y-21}{4}.

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

Gehitu -\frac{27y}{4} eta 4y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

Gehitu \frac{63}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

Egin -\frac{9}{4} bider -1.

$$x=\frac{9-21}{4}$$

Gehitu -\frac{21}{4} eta \frac{9}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

Sinplifikatu.

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

Egin 12x+16y=-52 ken 12x+27y=-63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$27y-16y=-63+52$$

Gehitu 27y eta -16y.

$$11y=-63+52$$

Gehitu -63 eta 52.

$$11y=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-1$$

Ordeztu -1 y balioarekin 3x+4y=-13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

Egin 4 bider -1.

$$3x-4=-13$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-1$$