Resolver {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+7y=2$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-7y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+6y=4).

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Egin 5 bider -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Gehitu -\frac{35y}{4} eta 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{11}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Ordeztu -\frac{6}{11} y balioarekin x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Egin -\frac{7}{4} bider -\frac{6}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Gehitu \frac{1}{2} eta \frac{21}{22} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{16}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Sinplifikatu.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Egin 20x+24y=16 ken 20x+35y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$35y-24y=10-16$$

Gehitu 35y eta -24y.

$$11y=10-16$$

Gehitu 10 eta -16.

$$11y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Ordeztu -\frac{6}{11} y balioarekin 5x+6y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Egin 6 bider -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Gehitu \frac{36}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{16}{11}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$