Resolver {l}{4x+6y=0}{x-5y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 0 } \\ { x - 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{6}{13}\approx -0.461538462$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+6y=0$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-6y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)y$$

Egin \frac{1}{4} bider -6y.

$$x=-\frac{3}{2}y$$

Ordeztu -\frac{3y}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-5y=-2).

$$-\frac{3}{2}y-5y=-2$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -5y.

$$-\frac{13}{2}y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{4}{13}$$

Ordeztu \frac{4}{13} y balioarekin x=-\frac{3}{2}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{13}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{4}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{6}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-6}&-\frac{6}{4\left(-5\right)-6}\\-\frac{1}{4\left(-5\right)-6}&\frac{4}{4\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&\frac{3}{13}\\\frac{1}{26}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\left(-2\right)\\-\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+6y=0,x-5y=-2$$

4x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4x+6y=0,4x+4\left(-5\right)y=4\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$4x+6y=0,4x-20y=-8$$

Egin 4x-20y=-8 ken 4x+6y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+6y+20y=8$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+20y=8$$

Gehitu 6y eta 20y.

$$26y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=\frac{4}{13}$$

Ordeztu \frac{4}{13} y balioarekin x-5y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-5\times \frac{4}{13}=-2$$

Egin -5 bider \frac{4}{13}.

$$x-\frac{20}{13}=-2$$

Gehitu \frac{20}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{6}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{6}{13},y=\frac{4}{13}$$