Resolver {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+5y=1$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-5y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{-5y+1}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-7y=1).

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

Egin 5 bider \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Gehitu -\frac{25y}{4} eta -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{53}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1}{53}$$

Ordeztu \frac{1}{53} y balioarekin x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Egin -\frac{5}{4} bider \frac{1}{53}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta -\frac{5}{212} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{12}{53}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Sinplifikatu.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Egin 20x-28y=4 ken 20x+25y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y+28y=5-4$$

Gehitu 25y eta 28y.

$$53y=5-4$$

Gehitu 5 eta -4.

$$53y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 53 balioarekin.

$$y=\frac{1}{53}$$

Ordeztu \frac{1}{53} y balioarekin 5x-7y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

Egin -7 bider \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Gehitu \frac{7}{53} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{12}{53}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$