Resolver {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+5y=0$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-5y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

Egin \frac{1}{4} bider -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

Ordeztu -\frac{5y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x-15y=-5).

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

Egin 8 bider -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Gehitu -10y eta -15y.

$$-25y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin x=-\frac{5}{4}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

Egin -\frac{5}{4} bider \frac{1}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

4x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

Egin 32x-60y=-20 ken 32x+40y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Gehitu 32x eta -32x. Sinplifikatu egiten dira 32x eta -32x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$40y+60y=20$$

Gehitu 40y eta 60y.

$$100y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 100 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin 8x-15y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

Egin -15 bider \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$