Resolver {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-3y=-28$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=25$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+25.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y+25}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=-28).

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

Egin 2 bider \frac{-3y+25}{4}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

Gehitu -\frac{3y}{2} eta -3y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

Egin ken \frac{25}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider 9.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

Gehitu \frac{25}{4} eta -\frac{27}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-3y=-28$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$2x-3y=-28$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

Egin 8x-12y=-112 ken 8x+6y=50 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+12y=50+112$$

Gehitu 6y eta 12y.

$$18y=50+112$$

Gehitu 50 eta 112.

$$18y=162$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 2x-3y=-28 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times 9=-28$$

Egin -3 bider 9.

$$2x-27=-28$$

Gehitu 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$