Resolver {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=13$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y+13}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+6y=26).

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

Egin 3 bider \frac{-3y+13}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

Gehitu -\frac{9y}{4} eta 6y.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

Egin ken \frac{39}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{15}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{13}{3} y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider \frac{13}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

Gehitu \frac{13}{4} eta -\frac{13}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

4x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

Sinplifikatu.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

Egin 12x+24y=104 ken 12x+9y=39 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-24y=39-104$$

Gehitu 9y eta -24y.

$$-15y=39-104$$

Gehitu 39 eta -104.

$$-15y=-65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{13}{3} y balioarekin 3x+6y=26 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

Egin 6 bider \frac{13}{3}.

$$3x+26=26$$

Egin ken 26 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$