Resolver {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=0$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Ordeztu -\frac{3y}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+3y=1).

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

Egin 3 bider -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

Gehitu -\frac{9y}{4} eta 3y.

$$\frac{3}{4}y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{4}{3} y balioarekin x=-\frac{3}{4}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

Egin -\frac{3}{4} bider \frac{4}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

Egin 3x+3y=1 ken 4x+3y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4x-3x=-1$$

Gehitu 4x eta -3x.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin 3x+3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

Egin 3 bider -1.

$$-3+3y=1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$