Resolver {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=18$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y+18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+9}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x-6y=27).

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

Egin -3 bider \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Gehitu \frac{27}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Gehitu \frac{9}{2} eta \frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

4x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Sinplifikatu.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

Egin -12x-24y=108 ken -12x-6y=-54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

Gehitu -12x eta 12x. Sinplifikatu egiten dira -12x eta 12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+24y=-54-108$$

Gehitu -6y eta 24y.

$$18y=-54-108$$

Gehitu -54 eta -108.

$$18y=-162$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin -3x-6y=27 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

Egin -6 bider -9.

$$-3x+54=27$$

Egin ken 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-9$$