Resolver {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=12$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+18y=19).

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

Egin 7 bider -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Gehitu -\frac{7y}{2} eta 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{29}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Ordeztu -\frac{4}{29} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{4}{29}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Gehitu 3 eta \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

4x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Sinplifikatu.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Egin 28x+72y=76 ken 28x+14y=84 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14y-72y=84-76$$

Gehitu 14y eta -72y.

$$-58y=84-76$$

Gehitu 84 eta -76.

$$-58y=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -58 balioarekin.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Ordeztu -\frac{4}{29} y balioarekin 7x+18y=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

Egin 18 bider -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Gehitu \frac{72}{29} ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{89}{29}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$