Resolver {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+2y=-18$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-2y-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y-18.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

Ordeztu \frac{-y-9}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-5y=10).

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

Egin -2 bider \frac{-y-9}{2}.

$$y+9-5y=10$$

Gehitu y eta -5y.

$$-4y+9=10$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Ordeztu -\frac{1}{4} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{1}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

Gehitu -\frac{9}{2} eta \frac{1}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

4x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

Sinplifikatu.

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

Egin -8x-20y=40 ken -8x-4y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

Gehitu -8x eta 8x. Sinplifikatu egiten dira -8x eta 8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4y+20y=36-40$$

Gehitu -4y eta 20y.

$$16y=36-40$$

Gehitu 36 eta -40.

$$16y=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Ordeztu -\frac{1}{4} y balioarekin -2x-5y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

Egin -5 bider -\frac{1}{4}.

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

Egin ken \frac{5}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=\frac{35}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=-\frac{35}{8}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$