Resolver {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi b. Horretarako, isolatu b berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4b+4c=-5$$

Egin ken 4c ekuazioaren bi aldeetan.

$$4b=-4c-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

Ordeztu -c-\frac{5}{4} balioa b balioarekin beste ekuazioan (4b+5c=-6).

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

Egin 4 bider -c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

Gehitu -4c eta 5c.

$$c-5=-6$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$c=-1$$

Ordeztu -1 c balioarekin b=-c-\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

Egin -1 bider -1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

Gehitu -\frac{5}{4} eta 1.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera b eta c matrize-elementuak.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Egin 4b+5c=-6 ken 4b+4c=-5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

Gehitu 4b eta -4b. Sinplifikatu egiten dira 4b eta -4b. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4c-5c=-5+6$$

Gehitu 4c eta -5c.

$$-c=-5+6$$

Gehitu -5 eta 6.

$$-c=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$c=-1$$

Ordeztu -1 c balioarekin 4b+5c=-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, b ebatz dezakezu zuzenean.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

Egin 5 bider -1.

$$4b-5=-6$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4b=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$