Resolver {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a_{1}. Horretarako, isolatu a_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4a_{1}+6d=3$$

Egin ken 6d ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Ordeztu -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} balioa a_{1} balioarekin beste ekuazioan (3a_{1}+21d=4).

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Egin 3 bider -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Gehitu -\frac{9d}{2} eta 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Egin ken \frac{9}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{33}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$d=\frac{7}{66}$$

Ordeztu \frac{7}{66} d balioarekin a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Egin -\frac{3}{2} bider \frac{7}{66}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} eta -\frac{7}{44} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Atera a_{1} eta d matrize-elementuak.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} eta 3a_{1} berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Sinplifikatu.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Egin 12a_{1}+84d=16 ken 12a_{1}+18d=9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Gehitu 12a_{1} eta -12a_{1}. Sinplifikatu egiten dira 12a_{1} eta -12a_{1}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18d-84d=9-16$$

Gehitu 18d eta -84d.

$$-66d=9-16$$

Gehitu 9 eta -16.

$$-66d=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -66 balioarekin.

$$d=\frac{7}{66}$$

Ordeztu \frac{7}{66} d balioarekin 3a_{1}+21d=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Egin 21 bider \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Egin ken \frac{49}{22} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$