Resolver {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4a+5b=9$$

Egin ken 5b ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a=-5b+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{-5b+9}{4} balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a-b=7).

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Egin 2 bider \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Gehitu -\frac{5b}{2} eta -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Egin ken \frac{9}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Ordeztu -\frac{5}{7} b balioarekin a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Egin -\frac{5}{4} bider -\frac{5}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta \frac{25}{28} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{22}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a eta 2a berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Sinplifikatu.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Egin 8a-4b=28 ken 8a+10b=18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Gehitu 8a eta -8a. Sinplifikatu egiten dira 8a eta -8a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10b+4b=18-28$$

Gehitu 10b eta 4b.

$$14b=18-28$$

Gehitu 18 eta -28.

$$14b=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Ordeztu -\frac{5}{7} b balioarekin 2a-b=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Egin ken \frac{5}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=\frac{44}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{22}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$