Resolver {l}{4-y=2x?}{text{A.}2+y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 - y = 2 x ? } \\ { \text { A. } 2 + y = 2 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$4-y-2x=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2+y-2x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-y-2x=-4,y-2x=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-y-2x=-4$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=2x-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-\left(2x-4\right)$$

Egin -1 bider -4+2x.

$$y=-2x+4$$

Ordeztu -2x+4 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=-2).

$$-2x+4-2x=-2$$

Gehitu -2x eta -2x.

$$-4x+4=-2$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{3}{2} x balioarekin y=-2x+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2\times \frac{3}{2}+4$$

Egin -2 bider \frac{3}{2}.

$$y=-3+4$$

Gehitu 4 eta -3.

$$y=1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=\frac{3}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$4-y-2x=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2+y-2x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-y-2x=-4,y-2x=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=1,x=\frac{3}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$4-y-2x=0$$

Kendu 4 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$2+y-2x=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$y-2x=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-y-2x=-4,y-2x=-2$$

Egin y-2x=-2 ken -y-2x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-y-y-2x+2x=-4+2$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-y=-4+2$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y=-4+2$$

Gehitu -4 eta 2.

$$-2y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin y-2x=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$1-2x=-2$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=1,x=\frac{3}{2}$$