Resolver {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

Ebatzi: A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3A-9D=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$8A-8D=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi A. Horretarako, isolatu A berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3A-9D=4$$

Gehitu 9D ekuazioaren bi aldeetan.

$$3A=9D+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

Ordeztu 3D+\frac{4}{3} balioa A balioarekin beste ekuazioan (8A-8D=2).

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

Egin 8 bider 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

Gehitu 24D eta -8D.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

Egin ken \frac{32}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Ordeztu -\frac{13}{24} D balioarekin A=3D+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

Egin 3 bider -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -\frac{13}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3A-9D=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$8A-8D=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

Atera A eta D matrize-elementuak.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$3A-9D=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$8A-8D=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

3A eta 8A berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

Sinplifikatu.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

Egin 24A-24D=6 ken 24A-72D=32 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

Gehitu 24A eta -24A. Sinplifikatu egiten dira 24A eta -24A. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-72D+24D=32-6$$

Gehitu -72D eta 24D.

$$-48D=32-6$$

Gehitu 32 eta -6.

$$-48D=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -48 balioarekin.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Ordeztu -\frac{13}{24} D balioarekin 8A-8D=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, A ebatz dezakezu zuzenean.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

Egin -8 bider -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

Egin ken \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$