Resolver {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$36x-5y=7$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$36x=5y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 36 balioarekin.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

Egin \frac{1}{36} bider 5y+7.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

Ordeztu \frac{5y+7}{36} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+3y=8).

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

Egin 6 bider \frac{5y+7}{36}.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

Gehitu \frac{5y}{6} eta 3y.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

Egin ken \frac{7}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{23}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{41}{23}$$

Ordeztu \frac{41}{23} y balioarekin x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

Egin \frac{5}{36} bider \frac{41}{23}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

Gehitu \frac{7}{36} eta \frac{205}{828} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{61}{138}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 36 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

Sinplifikatu.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

Egin 216x+108y=288 ken 216x-30y=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

Gehitu 216x eta -216x. Sinplifikatu egiten dira 216x eta -216x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30y-108y=42-288$$

Gehitu -30y eta -108y.

$$-138y=42-288$$

Gehitu 42 eta -288.

$$-138y=-246$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -138 balioarekin.

$$y=\frac{41}{23}$$

Ordeztu \frac{41}{23} y balioarekin 6x+3y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

Egin 3 bider \frac{41}{23}.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

Egin ken \frac{123}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=\frac{61}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{61}{138}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$