Resolver {l}{3.5c+5.25a=365.75}{c+a=9.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.5 c + 5.25 a = 365.75 } \\ { c + a = 9.4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: c, a

$$c=-180.8$$

$$a=190.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi c. Horretarako, isolatu c berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3.5c+5.25a=365.75$$

Egin ken \frac{21a}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3.5c=-5.25a+365.75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=\frac{2}{7}\left(-5.25a+365.75\right)$$

Egin \frac{2}{7} bider \frac{-21a+1463}{4}.

$$c=-1.5a+104.5$$

Ordeztu \frac{-3a+209}{2} balioa c balioarekin beste ekuazioan (c+a=9.4).

$$-1.5a+104.5+a=9.4$$

Gehitu -\frac{3a}{2} eta a.

$$-0.5a+104.5=9.4$$

Egin ken 104.5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-0.5a=-95.1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$a=190.2$$

Ordeztu 190.2 a balioarekin c=-1.5a+104.5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c=-1.5\times 190.2+104.5$$

Egin -1.5 bider 190.2, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$c=-285.3+104.5$$

Gehitu 104.5 eta -285.3 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$c=-180.8$$

Ebatzi da sistema.

$$c=-180.8,a=190.2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&5.25\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3.5-5.25}&-\frac{5.25}{3.5-5.25}\\-\frac{1}{3.5-5.25}&\frac{3.5}{3.5-5.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&3\\\frac{4}{7}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}365.75\\9.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 365.75+3\times 9.4\\\frac{4}{7}\times 365.75-2\times 9.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180.8\\190.2\end{matrix}\right)$$

Atera c eta a matrize-elementuak.

$$c=-180.8,a=190.2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3.5c+5.25a=365.75,c+a=9.4$$

\frac{7c}{2} eta c berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=3.5\times 9.4$$

Sinplifikatu.

$$3.5c+5.25a=365.75,3.5c+3.5a=32.9$$

Egin 3.5c+3.5a=32.9 ken 3.5c+5.25a=365.75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3.5c-3.5c+5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

Gehitu \frac{7c}{2} eta -\frac{7c}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{7c}{2} eta -\frac{7c}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5.25a-3.5a=365.75-32.9$$

Gehitu \frac{21a}{4} eta -\frac{7a}{2}.

$$1.75a=365.75-32.9$$

Gehitu 365.75 eta -32.9 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$1.75a=332.85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.75 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$a=190.2$$

Ordeztu 190.2 a balioarekin c+a=9.4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c+190.2=9.4$$

Egin ken 190.2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$c=-180.8$$

Ebatzi da sistema.

$$c=-180.8,a=190.2$$