Resolver {l}{3.4x=x+y/2}{4y=x+y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3.4 x = \frac { x + y } { 2 } } \\ { 4 y = \frac { x + y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6.8x=x+y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6.8x-x=y$$

5.8x lortzeko, konbinatu 6.8x eta -x.

$$5.8x=y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5.8 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{5}{29}y$$

Ordeztu \frac{5y}{29} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+7y=0).

$$-\frac{5}{29}y+7y=0$$

Gehitu -\frac{5y}{29} eta 7y.

$$\frac{198}{29}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{198}{29} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{5}{29}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6.8x=x+y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6.8x-x=y$$

5.8x lortzeko, konbinatu 6.8x eta -x.

$$5.8x=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$5.8x-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$8y=x+y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$8y-x=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$8y-x-y=0$$

7y lortzeko, konbinatu 8y eta -y.

$$7y-x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5.8&-1\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5.8}{5.8\times 7-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{198}&\frac{5}{198}\\\frac{5}{198}&\frac{29}{198}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$6.8x=x+y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$6.8x-x=y$$

5.8x lortzeko, konbinatu 6.8x eta -x.

$$5.8x=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$5.8x-y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak honekin: 2.

$$8y=x+y$$

Kendu x bi aldeetatik.

$$8y-x=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$8y-x-y=0$$

7y lortzeko, konbinatu 8y eta -y.

$$7y-x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5.8x-y=0,-x+7y=0$$

\frac{29x}{5} eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5.8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5.8x-\left(-y\right)=0,5.8\left(-1\right)x+5.8\times 7y=0$$

Sinplifikatu.

$$-5.8x+y=0,-5.8x+40.6y=0$$

Egin -5.8x+40.6y=0 ken -5.8x+y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5.8x+5.8x+y-40.6y=0$$

Gehitu -\frac{29x}{5} eta \frac{29x}{5}. Sinplifikatu egiten dira -\frac{29x}{5} eta \frac{29x}{5}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-40.6y=0$$

Gehitu y eta -\frac{203y}{5}.

$$-39.6y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -39.6 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin -x+7y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=0$$