Resolver {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-6x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+y=7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3y-6x=-3$$

Gehitu 6x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=6x-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 6x-3.

$$y=2x-1$$

Ordeztu 2x-1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+2x=7).

$$2x-1+2x=7$$

Gehitu 2x eta 2x.

$$4x-1=7$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=2x-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times 2-1$$

Egin 2 bider 2.

$$y=4-1$$

Gehitu -1 eta 4.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-6x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+y=7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=3,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$3y-6x=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$2x+y=7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

3y eta y berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

Egin 3y+6x=21 ken 3y-6x=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6x-6x=-3-21$$

Gehitu -6x eta -6x.

$$-12x=-3-21$$

Gehitu -3 eta -21.

$$-12x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y+2x=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+2\times 2=7$$

Egin 2 bider 2.

$$y+4=7$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=2$$