Resolver {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3y+x=31$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-x+31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Ordeztu \frac{-x+31}{3} balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+3x=44).

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Egin 2 bider \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Gehitu -\frac{2x}{3} eta 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Egin ken \frac{62}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Gehitu \frac{31}{3} eta -\frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=7$$

Ebatzi da sistema.

$$y=7,x=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=7,x=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Sinplifikatu.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Egin 6y+9x=132 ken 6y+2x=62 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Gehitu 6y eta -6y. Sinplifikatu egiten dira 6y eta -6y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-9x=62-132$$

Gehitu 2x eta -9x.

$$-7x=62-132$$

Gehitu 62 eta -132.

$$-7x=-70$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=10$$

Ordeztu 10 x balioarekin 2y+3x=44 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+3\times 10=44$$

Egin 3 bider 10.

$$2y+30=44$$

Egin ken 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=7$$

Ebatzi da sistema.

$$y=7,x=10$$