Resolver {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3y+2x=75$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=-2x+75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

Ordeztu -\frac{2x}{3}+25 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+x=50).

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

Gehitu -\frac{2x}{3} eta x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}x=25$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=75$$

Ordeztu 75 x balioarekin y=-\frac{2}{3}x+25 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

Egin -\frac{2}{3} bider 75.

$$y=-50+25$$

Gehitu 25 eta -50.

$$y=-25$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-25,x=75$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-25,x=75$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

3y eta y berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Sinplifikatu.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

Egin 3y+3x=150 ken 3y+2x=75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2x-3x=75-150$$

Gehitu 2x eta -3x.

$$-x=75-150$$

Gehitu 75 eta -150.

$$-x=-75$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=75$$

Ordeztu 75 x balioarekin y+x=50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y+75=50$$

Egin ken 75 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-25$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-25,x=75$$