Resolver {l}{3x_{1}-x_{2}=7}{2x_{1}+3x_{2}=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } = 7 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x_1, x_2

$$x_{1}=2$$

$$x_{2}=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x_{1}-x_{2}=7,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x_{1}. Horretarako, isolatu x_{1} berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x_{1}-x_{2}=7$$

Gehitu x_{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x_{1}=x_{2}+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x_{1}=\frac{1}{3}\left(x_{2}+7\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider x_{2}+7.

$$x_{1}=\frac{1}{3}x_{2}+\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{7+x_{2}}{3} balioa x_{1} balioarekin beste ekuazioan (2x_{1}+3x_{2}=1).

$$2\left(\frac{1}{3}x_{2}+\frac{7}{3}\right)+3x_{2}=1$$

Egin 2 bider \frac{7+x_{2}}{3}.

$$\frac{2}{3}x_{2}+\frac{14}{3}+3x_{2}=1$$

Gehitu \frac{2x_{2}}{3} eta 3x_{2}.

$$\frac{11}{3}x_{2}+\frac{14}{3}=1$$

Egin ken \frac{14}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{3}x_{2}=-\frac{11}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x_{2}=-1$$

Ordeztu -1 x_{2} balioarekin x_{1}=\frac{1}{3}x_{2}+\frac{7}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$x_{1}=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider -1.

$$x_{1}=\frac{-1+7}{3}$$

Gehitu \frac{7}{3} eta -\frac{1}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x_{1}=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=2,x_{2}=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x_{1}-x_{2}=7,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera x_{1} eta x_{2} matrize-elementuak.

$$x_{1}=2,x_{2}=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x_{1}-x_{2}=7,2x_{1}+3x_{2}=1$$

3x_{1} eta 2x_{1} berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x_{1}+2\left(-1\right)x_{2}=2\times 7,3\times 2x_{1}+3\times 3x_{2}=3$$

Sinplifikatu.

$$6x_{1}-2x_{2}=14,6x_{1}+9x_{2}=3$$

Egin 6x_{1}+9x_{2}=3 ken 6x_{1}-2x_{2}=14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x_{1}-6x_{1}-2x_{2}-9x_{2}=14-3$$

Gehitu 6x_{1} eta -6x_{1}. Sinplifikatu egiten dira 6x_{1} eta -6x_{1}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2x_{2}-9x_{2}=14-3$$

Gehitu -2x_{2} eta -9x_{2}.

$$-11x_{2}=14-3$$

Gehitu 14 eta -3.

$$-11x_{2}=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$x_{2}=-1$$

Ordeztu -1 x_{2} balioarekin 2x_{1}+3x_{2}=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x_{1} ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x_{1}+3\left(-1\right)=1$$

Egin 3 bider -1.

$$2x_{1}-3=1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x_{1}=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x_{1}=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x_{1}=2,x_{2}=-1$$