Resolver {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x-y=2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y-8=0).

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

Egin 2 bider \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

Gehitu \frac{4}{3} eta -8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

Gehitu \frac{20}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider 4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

Egin 6x+3y-24=0 ken 6x-2y-4=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y-3y-4+24=0$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y-4+24=0$$

Gehitu -4 eta 24.

$$-5y+20=0$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 2x+y-8=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4-8=0$$

Gehitu 4 eta -8.

$$2x-4=0$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=4$$