Resolver {l}{3x-y=3}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 3 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+3.

$$x=\frac{1}{3}y+1$$

Ordeztu \frac{y}{3}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+2y=20).

$$7\left(\frac{1}{3}y+1\right)+2y=20$$

Egin 7 bider \frac{y}{3}+1.

$$\frac{7}{3}y+7+2y=20$$

Gehitu \frac{7y}{3} eta 2y.

$$\frac{13}{3}y+7=20$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{3}y=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+1$$

Egin \frac{1}{3} bider 3.

$$x=1+1$$

Gehitu 1 eta 1.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\times 20\\-\frac{7}{13}\times 3+\frac{3}{13}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=3,7x+2y=20$$

3x eta 7x berdintzeko, biderkatu 7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 3,3\times 7x+3\times 2y=3\times 20$$

Sinplifikatu.

$$21x-7y=21,21x+6y=60$$

Egin 21x+6y=60 ken 21x-7y=21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$21x-21x-7y-6y=21-60$$

Gehitu 21x eta -21x. Sinplifikatu egiten dira 21x eta -21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7y-6y=21-60$$

Gehitu -7y eta -6y.

$$-13y=21-60$$

Gehitu 21 eta -60.

$$-13y=-39$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 7x+2y=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$7x+2\times 3=20$$

Egin 2 bider 3.

$$7x+6=20$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$