Resolver {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x-y=-2$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{-2+y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-2y+1=0).

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Egin 5 bider \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Gehitu -\frac{10}{3} eta 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Gehitu \frac{7}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Egin \frac{1}{3} bider -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Gehitu -\frac{2}{3} eta -\frac{7}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Sinplifikatu.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Egin 15x-6y+3=0 ken 15x-5y+10=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y+6y+10-3=0$$

Gehitu -5y eta 6y.

$$y+10-3=0$$

Gehitu 10 eta -3.

$$y+7=0$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-7$$

Ordeztu -7 y balioarekin 5x-2y+1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Egin -2 bider -7.

$$5x+14+1=0$$

Gehitu 14 eta 1.

$$5x+15=0$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-7$$