Resolver {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-9-y=0$$

Gehitu 9 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$9y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9y-x=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-y=9$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider y+9.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

Ordeztu \frac{y}{3}+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+9y=-3).

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

Egin -1 bider \frac{y}{3}+3.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

Gehitu -\frac{y}{3} eta 9y.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{26}{3}y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{26}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin x=\frac{1}{3}y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=0$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-9-y=0$$

Gehitu 9 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$9y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9y-x=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=0$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$3x-9-y=0$$

Gehitu 9 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x-y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$9y+3-x=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9y-x=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

3x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

Egin -3x+27y=-9 ken -3x+y=-9 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-27y=-9+9$$

Gehitu y eta -27y.

$$-26y=-9+9$$

Gehitu -9 eta 9.

$$-26y=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -26 balioarekin.

$$y=0$$

Ordeztu 0 y balioarekin -x+9y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=0$$