Resolver {l}{3x-5y=11}{15x-16y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 11 } \\ { 15 x - 16 y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

$$y = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=11$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y+11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+11\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y+11.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}$$

Ordeztu \frac{5y+11}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (15x-16y=7).

$$15\left(\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}\right)-16y=7$$

Egin 15 bider \frac{5y+11}{3}.

$$25y+55-16y=7$$

Gehitu 25y eta -16y.

$$9y+55=7$$

Egin ken 55 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9y=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=-\frac{16}{3}$$

Ordeztu -\frac{16}{3} y balioarekin x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{16}{3}\right)+\frac{11}{3}$$

Egin \frac{5}{3} bider -\frac{16}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{80}{9}+\frac{11}{3}$$

Gehitu \frac{11}{3} eta -\frac{80}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{47}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\15&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}&-\frac{-5}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}\\-\frac{15}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}&\frac{3}{3\left(-16\right)-\left(-5\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{27}&\frac{5}{27}\\-\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{27}\times 11+\frac{5}{27}\times 7\\-\frac{5}{9}\times 11+\frac{1}{9}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{9}\\-\frac{16}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=11,15x-16y=7$$

3x eta 15x berdintzeko, biderkatu 15 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$15\times 3x+15\left(-5\right)y=15\times 11,3\times 15x+3\left(-16\right)y=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$45x-75y=165,45x-48y=21$$

Egin 45x-48y=21 ken 45x-75y=165 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$45x-45x-75y+48y=165-21$$

Gehitu 45x eta -45x. Sinplifikatu egiten dira 45x eta -45x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-75y+48y=165-21$$

Gehitu -75y eta 48y.

$$-27y=165-21$$

Gehitu 165 eta -21.

$$-27y=144$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -27 balioarekin.

$$y=-\frac{16}{3}$$

Ordeztu -\frac{16}{3} y balioarekin 15x-16y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$15x-16\left(-\frac{16}{3}\right)=7$$

Egin -16 bider -\frac{16}{3}.

$$15x+\frac{256}{3}=7$$

Egin ken \frac{256}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$15x=-\frac{235}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$x=-\frac{47}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{47}{9},y=-\frac{16}{3}$$