Resolver {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=-6$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

Ordeztu \frac{5y}{3}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=-5).

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

Egin 2 bider \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

Gehitu \frac{10y}{3} eta -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin x=\frac{5}{3}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

Egin \frac{5}{3} bider -3.

$$x=-5-2$$

Gehitu -2 eta -5.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-7,y=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

Egin 6x-9y=-15 ken 6x-10y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+9y=-12+15$$

Gehitu -10y eta 9y.

$$-y=-12+15$$

Gehitu -12 eta 15.

$$-y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-3$$

Ordeztu -3 y balioarekin 2x-3y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

Egin -3 bider -3.

$$2x+9=-5$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=-3$$