Resolver {l}{3x-5y=-18}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 18 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=-18$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-18\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y-18.

$$x=\frac{5}{3}y-6$$

Ordeztu \frac{5y}{3}-6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=9).

$$3\left(\frac{5}{3}y-6\right)-2y=9$$

Egin 3 bider \frac{5y}{3}-6.

$$5y-18-2y=9$$

Gehitu 5y eta -2y.

$$3y-18=9$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=\frac{5}{3}y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\times 9-6$$

Egin \frac{5}{3} bider 9.

$$x=15-6$$

Gehitu -6 eta 15.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\left(-18\right)+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{1}{3}\left(-18\right)+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=-18,3x-2y=9$$

Egin 3x-2y=9 ken 3x-5y=-18 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-5y+2y=-18-9$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y+2y=-18-9$$

Gehitu -5y eta 2y.

$$-3y=-18-9$$

Gehitu -18 eta -9.

$$-3y=-27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 3x-2y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times 9=9$$

Egin -2 bider 9.

$$3x-18=9$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=27$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=9$$