Resolver {l}{3x-4y=-6}{2x+4y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { 2 x + 4 y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-4y=-6$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=4y-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

Ordeztu \frac{4y}{3}-2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+4y=16).

$$2\left(\frac{4}{3}y-2\right)+4y=16$$

Egin 2 bider \frac{4y}{3}-2.

$$\frac{8}{3}y-4+4y=16$$

Gehitu \frac{8y}{3} eta 4y.

$$\frac{20}{3}y-4=16$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{20}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=\frac{4}{3}y-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

Egin \frac{4}{3} bider 3.

$$x=4-2$$

Gehitu -2 eta 4.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\times 16\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 16$$

Sinplifikatu.

$$6x-8y=-12,6x+12y=48$$

Egin 6x+12y=48 ken 6x-8y=-12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-8y-12y=-12-48$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-12y=-12-48$$

Gehitu -8y eta -12y.

$$-20y=-12-48$$

Gehitu -12 eta -48.

$$-20y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 2x+4y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+4\times 3=16$$

Egin 4 bider 3.

$$2x+12=16$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$