Resolver {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-3y=2$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=3y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu y+\frac{2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+7y=-3).

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

Egin 4 bider y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

Gehitu 4y eta 7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

Egin ken \frac{8}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 11 balioarekin.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Ordeztu -\frac{17}{33} y balioarekin x=y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta -\frac{17}{33} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{5}{33}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

Sinplifikatu.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

Egin 12x+21y=-9 ken 12x-12y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y-21y=8+9$$

Gehitu -12y eta -21y.

$$-33y=8+9$$

Gehitu 8 eta 9.

$$-33y=17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -33 balioarekin.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Ordeztu -\frac{17}{33} y balioarekin 4x+7y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

Egin 7 bider -\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

Gehitu \frac{119}{33} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{20}{33}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{5}{33}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$