Resolver {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=5$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{2y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y-5=9).

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Egin -1 bider \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Gehitu -\frac{5}{3} eta -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Gehitu \frac{20}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{4}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{47}{4}$$

Ordeztu \frac{47}{4} y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider \frac{47}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{47}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{19}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Sinplifikatu.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Egin -3x+6y-15=27 ken -3x+2y=-5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Gehitu -3x eta 3x. Sinplifikatu egiten dira -3x eta 3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Gehitu 2y eta -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Gehitu -5 eta -27.

$$-4y+15=-32$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-47$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=\frac{47}{4}$$

Ordeztu \frac{47}{4} y balioarekin -x+2y-5=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Egin 2 bider \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Gehitu \frac{47}{2} eta -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Egin ken \frac{37}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=\frac{19}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$