Resolver {l}{3x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=4$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ordeztu \frac{4+2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-y=-2).

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=-2$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=-2$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{4}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 10.

$$x=\frac{20+4}{3}$$

Gehitu \frac{4}{3} eta \frac{20}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-2\left(-2\right)\\4-3\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=8,y=10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x-y=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=4,x-y=-2$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-2y=4,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$3x-2y=4,3x-3y=-6$$

Egin 3x-3y=-6 ken 3x-2y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-2y+3y=4+6$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-2y+3y=4+6$$

Gehitu -2y eta 3y.

$$y=4+6$$

Gehitu 4 eta 6.

$$y=10$$

Ordeztu 10 y balioarekin x-y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-10=-2$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=8$$

Ebatzi da sistema.

$$x=8,y=10$$