Resolver {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x-2y=-3$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Ordeztu \frac{2y}{3}-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y-47=0).

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Egin 4 bider \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Gehitu \frac{8y}{3} eta 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Gehitu -4 eta -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Gehitu 51 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{17}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin x=\frac{2}{3}y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Egin \frac{2}{3} bider 9.

$$x=6-1$$

Gehitu -1 eta 6.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Egin 12x+9y-141=0 ken 12x-8y+12=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Gehitu -8y eta -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Gehitu 12 eta 141.

$$-17y+153=0$$

Egin ken 153 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-17y=-153$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=9$$

Ordeztu 9 y balioarekin 4x+3y-47=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+3\times 9-47=0$$

Egin 3 bider 9.

$$4x+27-47=0$$

Gehitu 27 eta -47.

$$4x-20=0$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=9$$