Resolver {l}{3x-13=-y}{2x+9y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 13 = - y } \\ { 2 x + 9 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$3x-13+y=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x+y=13$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=13$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+13\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+13.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+13}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+9y=-8).

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}\right)+9y=-8$$

Egin 2 bider \frac{-y+13}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{26}{3}+9y=-8$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta 9y.

$$\frac{25}{3}y+\frac{26}{3}=-8$$

Egin ken \frac{26}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{25}{3}y=-\frac{50}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{25}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider -2.

$$x=\frac{2+13}{3}$$

Gehitu \frac{13}{3} eta \frac{2}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$3x-13+y=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x+y=13$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-2}&-\frac{1}{3\times 9-2}\\-\frac{2}{3\times 9-2}&\frac{3}{3\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{25}\times 13-\frac{1}{25}\left(-8\right)\\-\frac{2}{25}\times 13+\frac{3}{25}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu y bi aldeetan.

$$3x-13+y=0$$

Gehitu 13 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$3x+y=13$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=13,2x+9y=-8$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2y=2\times 13,3\times 2x+3\times 9y=3\left(-8\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+2y=26,6x+27y=-24$$

Egin 6x+27y=-24 ken 6x+2y=26 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+2y-27y=26+24$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-27y=26+24$$

Gehitu 2y eta -27y.

$$-25y=26+24$$

Gehitu 26 eta 24.

$$-25y=50$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 2x+9y=-8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+9\left(-2\right)=-8$$

Egin 9 bider -2.

$$2x-18=-8$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=-2$$