Resolver {l}{3x^2+2x}{-1geq0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x ^ { 2 } + 2 x } \\ { - 1 \geq 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x

$$x\in (-\infty,-1]\cup [\frac{1}{3},\infty)$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Desberdintasuna ebazteko, faktorizatu ezkerraldea. Polinomio koadratikoa faktorizatzeko, eraldaketa hau erabil daiteke: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Bertan, x_{1} eta x_{2} dira ax^{2}+bx+c=0 ekuazio koadratikoaren soluzioak.

$$3x^{2}+2x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu 3 balioa a balioarekin, 2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Egin kalkuluak.

$$x=\frac{-2±4}{6}$$

Ebatzi x=\frac{-2±4}{6} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$x=\frac{1}{3} x=-1$$

Berridatzi desberdintasuna lortutako emaitzen arabera.

$$3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+1\right)\geq 0$$

Biderkadura ≥0 izan dadin, x-\frac{1}{3} eta x+1 balioak ≤0 edo ≥0 izan behar dira. Hartu kasua kontuan x-\frac{1}{3} eta x+1 balioak ≤0 direnean.

$$x-\frac{1}{3}\leq 0 x+1\leq 0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\leq -1 da.

$$x\leq -1$$

Hartu kasua kontuan x-\frac{1}{3} eta x+1 balioak ≥0 direnean.

$$x+1\geq 0 x-\frac{1}{3}\geq 0$$

Desberdintasun biei egokitzen zaien soluzioa x\geq \frac{1}{3} da.

$$x\geq \frac{1}{3}$$

Lortutako soluzioen batasuna da azken soluzioa.

$$x\leq -1\text{; }x\geq \frac{1}{3}$$