Resolver {l}{3x+y=5}{7x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (7x+y=6).

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

Egin 7 bider \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

Gehitu -\frac{7y}{3} eta y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

Egin ken \frac{35}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{17}{4}$$

Ordeztu \frac{17}{4} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{17}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{17}{12} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

Egin 7x+y=6 ken 3x+y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-7x=5-6$$

Gehitu 3x eta -7x.

$$-4x=5-6$$

Gehitu 5 eta -6.

$$-4x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{1}{4} x balioarekin 7x+y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

Egin 7 bider \frac{1}{4}.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

Egin ken \frac{7}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{17}{4}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$