Resolver {l}{3x+y=5}{2x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+y=5$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+5}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=10).

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=10$$

Egin 2 bider \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=10$$

Gehitu -\frac{2y}{3} eta y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{3}y=\frac{20}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 20+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider 20.

$$x=\frac{-20+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta -\frac{20}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-10\\-2\times 5+3\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+y=5,2x+y=10$$

Egin 2x+y=10 ken 3x+y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-2x+y-y=5-10$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3x-2x=5-10$$

Gehitu 3x eta -2x.

$$x=5-10$$

Gehitu 5 eta -10.

$$x=-5$$

Ordeztu -5 x balioarekin 2x+y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\left(-5\right)+y=10$$

Egin 2 bider -5.

$$-10+y=10$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=20$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=20$$